Unidad 1

1.-Vectores en el espacio

Introducion  

El termino de vector es muy diverso y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. Este blog trata de mirar el mundo que nos rodea e inventar distintas formas para simular ese mundo con código, es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas. En física, un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas. 

1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica.

Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el espacio, el cual contiene:

·         Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.

·         Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.

·         Un sentido, que viene determinado por la punta de echa localizada en el extremo del vector.

Definición de un vector en R2 , R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn . Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.

Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.

VECTOR EN R2

 Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que 

VECTORES EN R 3

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:

Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.

Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

1.2 Álgebra vectorial y su geometría.

Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante.

Si se tienen dos vectores #«a y #«b , con magnitud diferente de cero y en un plano, de- fingimos geométrica mente la suma del vector #«a con el vector #«b cuando colocamos en el final del vector #«a con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como #«a + #«b , este procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma tal este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que #«a + #«b = #«b + #«a ; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores.

Adherencia vectorial Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría vectorial es la de poder adherir un figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas,a muestra un polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido se escoge libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores 

1.3 Producto escalar y vectorial.

La multiplicación de un vector por otro vector puede ser definido (de acuerdo con el producto que se trate) como:

1. Un escalar
2. Un vector

El producto escalar de dos vectores
A = (a1, a2)
B = (b1, b2)                

A ˑ B = a1, b1 + a2, b2
También se denomina producto punto de 2 vectores

En física e ingeniería para resolver problemas con vectores tenemos que recordar lo siguiente:

1. La magnitud |A| y la dirección Ө deben ser especificadas si se pude encontrar el vector A
2. Ax = |A|cosӨ    Ay= |A|senӨ
3. A = Axi + Ayj
4. Si se da |A| y Ө podemos calcular Ax y Ay
5. Si se da Өx, Ax o Ay se puede calcular |A|
6. Si se da Ax y Ay se puede calcular |A| y Ө
7. Si A = Axi + Ayj y B = Bxi+Bxj entonces A+B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

A= (0, 3, 1)
B= (0, 1, 2)

Estos vectores están en el plano yz por lo tanto deben de estar en la dirección perpendicular al plano yz osea en la dirección de x además de todo esto i es el vector unitario en la dirección de fx

|B|= v(0^2+1^2+2^2 )=v5

La magnitud del producto cruz de dos vectores es:


proyección. 

La proyección de un vector  sobre cualquiera de las direcciones determinadas por  es simplemente el vector formado, multiplicando la componente de  en la dirección especificada por un vector unitario en esa dirección

La proyección de  sobre  también se llama proyección ortogonal de sobre b

Ejemplo. Obtener la proyección de:
        Sobre el vector



Si ≠ 0 cualquier vector puede proyectarse sobre  lo mismo que un vector  perpendicular de | | que sea ortogonal a,  puede descomponerse en dos proyecciones.

1.4 Ecuación de la recta.

La recta se puede definir como el conjunto infinito de puntos alineados en una sola dirección. Observada en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano)es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Por eso hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

1. – Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). 

Ecuación pendiente ordenada

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula:

y = mx + n

m: Pendiente

n: Ordenada al origen de la recta

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,  m representa la pendiente de la recta  y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).

 Ecuación Punto - Pendiente

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma 

y − y₁ = m(x − x₁)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

1.5 Ecuación del plano.


enunciado

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre  y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector . Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI

ecuacion en el plano 

La propiedad que caracteriza a cada punto Q del plano es que el vector que va del punto P al Q es ortogonal al vector normal al plano, esto es,

Si el vector de posición del punto Q respecto al origen es

el vector de posición relativo al punto P es (midiendo todas las distancias en metros)

La condición de ortogonalidad al vector normal al plano la podemos desarrollar escribiendo el producto escalar como suma de productos de componentes

lo que nos da la ecuación implícita del plano

Alternativamente, podemos llegar a esta ecuación imponiendo que

que, geométricamente, significa que para cada punto del plano tiene el mismo valor la proyección de su vector de posición sobre el vector .

distancia al origen

La distancia de un punto O a un plano Π, se toma como la mínima de las distancias de O a los diferentes puntos del plano. El punto que se encuentra a la mínima distancia es el que se halla en la intersección del plano con la recta normal a él que pasa por O. Sea A este punto de intersección. Se cumple entonces

        

Esta distancia coincide con el valor absoluto de la proyección del vector  sobre el vector 

pero hemos dicho antes que la proyección sobre este vector es la misma para todos los puntos del plano, esto es, que no precisamos determinar la posición del punto A, sino que cualquier otro punto del plano nos vale para calcular esta distancia. Por ejemplo, el punto P que ya conocemos

Sustituyendo los valores

1.6 aplicaciones 

El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas.

El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y ademáses un concepto importante en Física.

Aplicación de los Vectores en Física

Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn .

Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.

Trabajo: Si una partícula se desplaza desdeel punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza , entonces el trabajo W realizado por elvector fuerza F está dado por W = F . AB , lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza).

Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es - .

Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial.

Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos observar que es la misma fórmula para la rapidez de una partícula, excepto por el hecho de que aquí no se determina el valor absoluto de la solución.

Además de estas aplicaciones físicas, un vector o un espacio vectorial puedentambién tener aplicaciones geométricas:

Recta: Asuma que un vector se encuentra paralelo a otro vector, digamos . Entonces la ecuación de la recta que representaría una sola recta sería = k . Aquí k es una cantidad escalar.
Una ecuación vectorial que represente esta recta sería,

r = a + k(b - a)

El valor de k puede variar hasta . Esta variación en el valor de k, mueve el punto P de una posición a otra, por ejemplo, cuando k = 0, entonces P = A.

Plano: De la misma forma, también puede definirseuna ecuación vectorial para un plano. Suponga un vector que yace sobre el plano, sea este vector .Entonces la ecuación que representa este vector es = r - a.
Sea el vector que yace normal al plano, entonces se puede afirmar que, (r - a). n = 0. Por lo tanto, la ecuación vectorial que representa tal plano sería, r.n = a.n . También esto puede escribirse como, r.n = . Aquí es un término constante.