Unidad 2

2.- Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. 

Introducción.

2.1 Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica. 

Circunferencia  

Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM.

Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia:

 𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 sin 𝜃 

Cicloide 

Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una recta fija. Tomese al eje x como la recta fija OX sobre la cual se hace rodar la circunferencia de centro C y radio r, y sea M el punto fijo que describe la curva.

En el momento en que comienza a rodar la circunferencia, el punto M coincide en el origen con T, punto de contacto de la circunferencia con OX. Cuando M y T lleguen a A, cada punto habrá hecho un recorrido igual a 2πr, es decir, en todo instante genérico, la distancia OT es igual al arco TM. Teniendo presente que cuando la medida del ángulo se da en radianes, el arco es igual al radio multiplicado por el número que mide el ángulo, se puede escribir:

𝑥 = 𝑂𝑃 = 𝑂𝑇 − 𝑀𝑁 = r 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃 ; 

𝑦 = 𝑃𝑀 = 𝑇𝐶 − 𝑁𝐶 = 𝑟 − 𝑟 cos 𝜃 ; 

𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

 𝑥 = 𝑟 ( 𝜃 − 𝑟 sin 𝜃);

 𝑦 = 𝑟 1 − cos 𝜃 ;

que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide. 

Hipocloide.

Es la curvatura que describe un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, permaneciendo siempre tangente interiormente a otra circunferencia fija. 

Sean a el radio de la circunferencia fija de centro O, b el radio de la circunferencia menor, de centro O´, que rueda, permaneciendo siempre tangente a la circunferencia mayor, M el punto fijo de la circunferencia menor que describe la hipocicloide, y T el punto de tangencia. En A coinciden M y T. cuando M haya descrito la arcada AB; habrá girado 360°, y el punto T habrá recorrido el arco AB; o sea: arco AB=2πb.

 Conviene expresar el ángulo φ en función de Θ para que figure un parámetro solamente.

 Astroide 

Si los radios de las circunferencias que intervienen en la generación de la hipocicloide son inconmensurables, la curva no vuelve a pasar por el punto inicial A. Pero, si los radios a y b son conmensurables, resulta una curva cerrada. 

En el caso particular de b=(1/4)a, se obtiene una curva llamada astroide. Las ecuaciones paramétricas de esta curva se deducen de las de la hipocicloide, sustituyendo b por (1/4)a y después reduciendo queda:

𝑥 = 𝑎 cos3 𝜃 ; 

𝑦 = 𝑎 sen3 𝜃.

Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide

2.2 Derivada de una curva en forma paramétrica. 
Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x,y) es

Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica: 

𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑡1 ,𝑡2 . 𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓´ 𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐹 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 
𝐷𝑥𝑦 = 𝑔 ′ (𝑡) /𝑓´(𝑡) = 𝐷𝑡𝑦 /𝐷𝑡

Derivadas de orden superior para una función dad en forma parametrica 𝑆𝑖 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑥 2𝑦 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒:

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

2.3 Tangentes a una curva.

La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.

El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos: en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, como se observa en el primer ejemplo resuelto a continuación. En segundo lugar y como se puede ver en el segundo ejemplo, se puede utilizar como condición en problemas más complejos.

La recta y=m*x+b  es tangente a la curva f(x) si cumple los siguientes requisitos:

1. Pasa por el punto de tangencia: (a,f(a))
2. Tiene el mismo pendiente (mismo valor de la derivada) que la curva en el punto de tangencia:  m=f´(a)

Entonces, se puede escribir la ecuación de la recta tangente de la siguiente forma:

y-f(a)=f´(a)*(x-a)

Nota: Siempre se encontrarán tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.

Además, la recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición-tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.

Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo, la pendiente de la parábola azul representa la velocidad instantánea.

Se puede ver que el corredor empieza con velocidad nula (parado) y va acelerando. La recta roja de la gráfica representa otro corredor que va a una velocidad constante y, en el instante marcado por el punto de tangencia, tiene la misma velocidad y se encuentra en el mismo punto.

El segundo corredor va más rápido que el primero hasta que es adelantado, y luego es el primero el que, gracias a que está acelerando, termina por delante.

2.4 Área y longitud de arco.

Una mejor técnica para definir una curva es describirla con una función vectorial de variables reales. Esta es una estrategia alternativa para definir una curva y es mucho mejor aquella en la cual todos los puntos de la curva son vectores posición con puntos terminales. Debido a esto, la curva es descrita de forma compacta y el cálculo de distintas propiedades de la curva puede llevarse a cabo convenientemente.
Si hablamos de curvas, una propiedad importante que surge es la longitud del arco de la curva. Las funciones vectoriales de una variable también se definen paramétricamente; por tanto la definición de la longitud del arco es la misma que para otras curvas definidas paramétricamente. Para una función valorada vectorial “p”, en el intervalo cerrado [a, b] cuya definición está dada por la ecuación,

La primera derivada de la función será,

Tenemos la longitud del arco de la función como,

Aquí tenemos x = q(t), y = r(t) y z = s(t).

Sin embargo, tenemos,

Esto puede ser escrito como,

La ecuación anterior puede ser aproximadamediante la suma de Riemann para confirmar que es la longitud del arco de una función vectorial,

Aquí tenemos, ti = a + i t y, t = (b – a)/ n
Por lo tanto, se puede concluir que,

Esto implica que tenemos,

La ecuación anterior representa la longitud total de un polígono que tiene sus segmentos de recta entre los vértices p (ti), donde i = 0… n. por tanto, se puede concluir que el resultado obtenido es una solución casi perfecta.

La longitud del arco también está representada por la ecuación,

En la ecuación anterior s(t) representa la longitud de la curva desde p(a) hasta p(t). Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, se puede establecer que,

Utilizar la longitud del arco como parámetro de una curva es algo muy inteligente de hacer porque la longitud del arco de una curva no depende de algún otro tipo de parámetro, lo que nos permite poder estudiar las otras propiedades de la curva de forma más conveniente.

Considere que t(s) es la función inversa representada por la ecuación anterior. En esta situación tenemos que, p2(s) = p (t(s))

será un parámetro de la curva de entrada en términos de la longitud del arco.

Al hacer uso de la regla de la cadena, podemos establecer que, p’2 (s) = dp(t(s))/ ds p2 (s) = p’(t(s))/ ds

Esto significa que, | p2 (s) | = | p’(t) |/ (ds/ dt)

Después de haber visto un montón de fórmulas,pasemos ahora a un ejemplo para entender mejor los conceptos aprendidos anteriormente.

Determine la longitud del arco de una hélice representada por la ecuación, p (t) = cos (t) + sin (t) + t 0 <= t <= 2 p’(t) = -sin (t) + cos (t) + | p’(t) | = = L = | p’(t) | dt = dt = 2

Esta es sólo una de las parametrizaciones de la curva de entrada, existen muchas otras también 

2.5 Curvas planas y graficación en coordenadas polares.

2.6 Cálculo en coordenadas polares. 

Unidad 1

1.-Vectores en el espacio

Introducion  

El termino de vector es muy diverso y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una estructura algebraica denominada espacio vectorial. Este blog trata de mirar el mundo que nos rodea e inventar distintas formas para simular ese mundo con código, es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas. En física, un vector es un concepto matemático que se utiliza para describir magnitudes tales como velocidades, aceleraciones o fuerzas. 

1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica.

Un vector libre, geométricamente puede ser caracterizado por un segmento orientado en el espacio, el cual contiene:

·         Un origen, a considerar cuando interese conocer el punto de aplicación del vector.

·         Una dirección o línea de acción, coincidente con la de la recta que la contiene o cualquier otra recta paralela.

·         Un sentido, que viene determinado por la punta de echa localizada en el extremo del vector.

Definición de un vector en R2 , R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn . Las cantidades físicas que necesitan dirección y magnitud para su especificación, tales como fuerza y velocidad son ejemplos de vectores. Un vector se representa por un segmento de línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto inicial y P2 el punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.

Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento rectilíneo que une al origen con el punto (a1, a2) en un sistema de coordenadas rectangulares. El vector determinado por el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que si partimos del punto inicial, recorremos una distancia dirigida a1 paralela al eje x, y después recorremos una distancia dirigida a2 paralela al eje y, llegamos al punto terminal.

Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto inicial B y por el por el punto terminal C, podemos encontrar la pareja ordenada (a1, a2) que determina el vector; a1 = c1 - b1, a2 = c2 - b2.

Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremos a una pareja de números reales.

VECTOR EN R2

 Un vector a (de dos dimensiones) es un par ordenado de números reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por

La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección está determinada por el menor ángulo positivo θ cuyo lado inicial es la parte positiva del eje x y cuyo lado terminal es el segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que 

VECTORES EN R 3

Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:

Geométricamente a un vector de R 3 se representa en el espacio como un segmento de recta dirigido.

Suponga que se tienen los puntos. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector

Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

1.2 Álgebra vectorial y su geometría.

Existen en el Álgebra vectorial básica las operaciones de suma y diferencia entre vectores así como la multiplicación de escalares por vectores, el producto escalar o producto punto y el producto vectorial se explicarán más adelante.

Si se tienen dos vectores #«a y #«b , con magnitud diferente de cero y en un plano, de- fingimos geométrica mente la suma del vector #«a con el vector #«b cuando colocamos en el final del vector #«a con el origen del vector #«b , la resultante es un nuevo vector que parte del origen del vector #«a y termina en el final del vector #«b , tal resultante la denotamos como #«a + #«b , este procedimiento se llama regla del triángulo, ahora si se forma un paralelogramo con los dos vectores y realizamos la operación suma tal este proceso se denomina la regla del paralelogramo, de esta figura se observa que #«a + #«b = #«b + #«a ; siendo esta propiedad denominada conmutativa de la suma de vectores.

Adherencia vectorial Una de las características que emplearemos en el desarrollo de la Geometría vectorial es la de poder adherir un figura geométrica un grupo de vectores de tal manera que se pueda realizar un estudio de propiedades y llegar a demostraciones geométricas,a muestra un polígono sin adherencia vectorial, y deseamos estudiarlo no desde una visión geométrica sino vectorial, entonces llegamos a la figura (b). La gráfica de un pentágono de lados a, b, c, d, e si adherimos o asociamos a cada lado del polígono un vector cuya magnitud corresponde a la longitud de cada lado y cuya dirección se ajusta a forma de la figura (el sentido se escoge libremente), entonces quedan claramente definidos los vectores 

1.3 Producto escalar y vectorial.

La multiplicación de un vector por otro vector puede ser definido (de acuerdo con el producto que se trate) como:

1. Un escalar
2. Un vector

El producto escalar de dos vectores
A = (a1, a2)
B = (b1, b2)                

A ˑ B = a1, b1 + a2, b2
También se denomina producto punto de 2 vectores

En física e ingeniería para resolver problemas con vectores tenemos que recordar lo siguiente:

1. La magnitud |A| y la dirección Ө deben ser especificadas si se pude encontrar el vector A
2. Ax = |A|cosӨ    Ay= |A|senӨ
3. A = Axi + Ayj
4. Si se da |A| y Ө podemos calcular Ax y Ay
5. Si se da Өx, Ax o Ay se puede calcular |A|
6. Si se da Ax y Ay se puede calcular |A| y Ө
7. Si A = Axi + Ayj y B = Bxi+Bxj entonces A+B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

A= (0, 3, 1)
B= (0, 1, 2)

Estos vectores están en el plano yz por lo tanto deben de estar en la dirección perpendicular al plano yz osea en la dirección de x además de todo esto i es el vector unitario en la dirección de fx

|B|= v(0^2+1^2+2^2 )=v5

La magnitud del producto cruz de dos vectores es:


proyección. 

La proyección de un vector  sobre cualquiera de las direcciones determinadas por  es simplemente el vector formado, multiplicando la componente de  en la dirección especificada por un vector unitario en esa dirección

La proyección de  sobre  también se llama proyección ortogonal de sobre b

Ejemplo. Obtener la proyección de:
        Sobre el vector



Si ≠ 0 cualquier vector puede proyectarse sobre  lo mismo que un vector  perpendicular de | | que sea ortogonal a,  puede descomponerse en dos proyecciones.

1.4 Ecuación de la recta.

La recta se puede definir como el conjunto infinito de puntos alineados en una sola dirección. Observada en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano)es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Por eso hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

1. – Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y). 

Ecuación pendiente ordenada

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula:

y = mx + n

m: Pendiente

n: Ordenada al origen de la recta

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y el punto de intercepción en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,  m representa la pendiente de la recta  y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).

 Ecuación Punto - Pendiente

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma 

y − y₁ = m(x − x₁)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

1.5 Ecuación del plano.


enunciado

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre  y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia OXYZ viene dada por el radio vector . Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen O. (Unidades del SI

ecuacion en el plano 

La propiedad que caracteriza a cada punto Q del plano es que el vector que va del punto P al Q es ortogonal al vector normal al plano, esto es,

Si el vector de posición del punto Q respecto al origen es

el vector de posición relativo al punto P es (midiendo todas las distancias en metros)

La condición de ortogonalidad al vector normal al plano la podemos desarrollar escribiendo el producto escalar como suma de productos de componentes

lo que nos da la ecuación implícita del plano

Alternativamente, podemos llegar a esta ecuación imponiendo que

que, geométricamente, significa que para cada punto del plano tiene el mismo valor la proyección de su vector de posición sobre el vector .

distancia al origen

La distancia de un punto O a un plano Π, se toma como la mínima de las distancias de O a los diferentes puntos del plano. El punto que se encuentra a la mínima distancia es el que se halla en la intersección del plano con la recta normal a él que pasa por O. Sea A este punto de intersección. Se cumple entonces

        

Esta distancia coincide con el valor absoluto de la proyección del vector  sobre el vector 

pero hemos dicho antes que la proyección sobre este vector es la misma para todos los puntos del plano, esto es, que no precisamos determinar la posición del punto A, sino que cualquier otro punto del plano nos vale para calcular esta distancia. Por ejemplo, el punto P que ya conocemos

Sustituyendo los valores

1.6 aplicaciones 

El vector es un tema que posee sus aplicaciones esenciales tanto en la física como en las Matemáticas.

El vector forma la base del cálculo vectorial en Matemáticas y ademáses un concepto importante en Física.

Aplicación de los Vectores en Física

Magnitud y Dirección de la Fuerza Resultante: Si la fuerza F1 , F2 ,F3 y así sucesivamente hasta Fn actúa sobre una partícula, entonces la fuerza resultante actuando en la partícula es F = F1+F2+F3+ … + Fn .

Aquí, el módulo de F será de la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula.

Trabajo: Si una partícula se desplaza desdeel punto A al punto B bajo la influencia de la fuerza , entonces el trabajo W realizado por elvector fuerza F está dado por W = F . AB , lo cual es igual a |F| AB cos ( ), donde es el ángulo entre y , lo que a su vez es equivalente a (magnitud de la fuerza) x (desplazamiento en la dirección de la fuerza).

Velocidad relativa: Si las velocidades de las partículas A y B son y , respectivamente, entonces la velocidad de B respecto a A es - y la velocidad de A respecto a B es - .

Rapidez: Aunque la velocidad es en sí misma una cantidad escalar, esta es una aplicación física del vector ya que representa el valor absoluto de un vector, el cual es el vector velocidad. Dado un vector velocidad, la rapidez puede ser calculada mediante el cálculo del valor absoluto del mismo como | |. Esto puede escribirse con mayor precisión como, s = | d/ t | Aquí, d es la cantidad de desplazamiento y t es la diferencia de tiempo desde cuando la partícula se encontraba en la posición final hasta cuando la partícula se encontraba en la posición inicial.

Velocidad: El vector velocidad representa la razón de variación del movimiento de una partícula de una posición a otra. La fórmula para calcular la velocidad de una partícula es, v = d / t. Podemos observar que es la misma fórmula para la rapidez de una partícula, excepto por el hecho de que aquí no se determina el valor absoluto de la solución.

Además de estas aplicaciones físicas, un vector o un espacio vectorial puedentambién tener aplicaciones geométricas:

Recta: Asuma que un vector se encuentra paralelo a otro vector, digamos . Entonces la ecuación de la recta que representaría una sola recta sería = k . Aquí k es una cantidad escalar.
Una ecuación vectorial que represente esta recta sería,

r = a + k(b - a)

El valor de k puede variar hasta . Esta variación en el valor de k, mueve el punto P de una posición a otra, por ejemplo, cuando k = 0, entonces P = A.

Plano: De la misma forma, también puede definirseuna ecuación vectorial para un plano. Suponga un vector que yace sobre el plano, sea este vector .Entonces la ecuación que representa este vector es = r - a.
Sea el vector que yace normal al plano, entonces se puede afirmar que, (r - a). n = 0. Por lo tanto, la ecuación vectorial que representa tal plano sería, r.n = a.n . También esto puede escribirse como, r.n = . Aquí es un término constante.

Introducción

La atribución de este blog es desarrollar el pensamiento lógico-matemático y aportar las herramientas básicas para introducirse al  estudio del calculo vectorial. La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. la importancia del calculo vectorial radica fundamentalmente en la diversidad de aplicaciones en la ingeniería, la concurrencia de de variables espaciales y temporales, hace necesario el análisis de dichos fenómenos utilizando dichas técnicas o funciones vectoriales o escalares de varias variables.